浅谈初中数学方法之分类讨论

不说话难受

回想当年自己刚刚进入初中伊始以及后续初中的学习历程，结合现在给学生的上课情况，分类讨论这个思想其实对于大多学生是不具备的，或者可以说根本没有这个意识去进行分类讨论。
所以想趁这个契机，对初中数学中涉及到分类讨论的问题做一个全面详细的总结，希望能帮到各位正在或即将进入初中，以及认为自己没学透的高中学子们。
另外，我给大家设置了小目录，对于会的内容可以直接跳过，不会的还请点击目录小标题，细细品用，如果文中有瑕疵的地方，也请各位高抬贵手，我会进行修改，谢谢大家。
话不多说，先上思维导图，本文主要从两个方面，六个题型对分类讨论进行讲解。


（一）函数类

a、含绝对值的讨论

说到绝对值，我们还是要先回顾一下绝对值的基本知识。


当然绝对值的重点内容除了以上两点之外，最重要的还是如何去绝对值，咱们学过两种方法：

• 平方法：顾名思义，其实就是直接对绝对值进行平方，由于平方的特性，这样我们就无须对绝对值内数的大小进行比较。
  
• 定义法：即根据分析判断绝对值内的数与0的关系从而去绝对值，具体方法见上图。
  

这里我们要讲解的绝对值的分类讨论，主要就是它的定义法，以下结合具体题目进行分析。
<hr/>【例1】请画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象
要画出本题的图像，其实根据我们学过的描点法可以完成，即列表、描点、连线。但是此方法有局限性，如果将含绝对值函数转变成我们所学过的一元一次函数或者一元二次函数岂不是更直观。
所以还是从绝对的定义法去对这个y＝|x﹣2|的一次函数进行变形。
我们知道对于绝对值内的数：
如果大于0，那么直接可以去绝对值符号；
如果等于0，绝对值内的数等于0；
如果小于0，那么去掉绝对值符号后，要把绝对值的数加括号并在括号前加负号
根据以上方法，y＝|x﹣2|这个函数可以变成以下分段函数：
当x小于2，y=2-x
当x等于2，y=0
当x大于2，y=x-2
结合这个分段函数以及函数的平移方法“左加右减，上加下减”我们就可以得到y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1这两个函数的图像


【例2】请画出函数y＝|x﹣2|+|x+3|的图象
如果遇到想上面这种有多个绝对值符号的函数时，怎么处理呢，其实方法同上，只不过咱们现在需要对两个绝对值符号内的值进行讨论。
通过观察上面例1的题目我们可以发现，当使得函数内的值为0时，所取得的x值是函数图像的转折点，集合这一点，我们对于第二类函数图像的分类就找到的关键点。可使得|x﹣2|以及|x+3|内的值分别为零，我们得到x=2以及x=-3这两个点，就此通过数轴咱们可以得到三个实数范围。
x小于-3
x大于等于-3且小于等于2
x大于2
然后在这三个实数范围内对y＝|x﹣2|+|x+3|这个函数做去括号处理，即可得到他的分段函数。
<hr/>b、实际应用的图像分析

此类问题主要与函数的实际应用相结合，通过图像分析进行求解，只不过由于函数图像的变化，导致几段情况发生变化，不过难度不大，关键需要找到几个转折点，并对由转折点区分的几段进行分段分析即可得到答案，具体内容结合一下题目进行分析，
<hr/>【例1】（钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．


（1）求在两家鱼塘钓鱼时y欢乐、y云门与x之间的函数关系式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中m，n的值分别为多少 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼塘钓鱼更划算？
本题主要关注第三题，前两题的答案如下：
（1）


（2）m＝32.5，n＝150
通过前两问，我们不仅知道了在两个鱼塘钓鱼的收益曲线，同时也得到了两个函数的交点坐标。
现在，其实我们就已经可以回答这道题的问题了，为什么呢？
因为：
1、函数表达式中因变量y代表的是鱼友的利润
2、在图中，一次函数图像在y轴以下的情况说明鱼友的利润为负，在y轴以上说明利润为正
3、两函数坐标交点说明两个鱼塘在鱼总量为32.5以及150时收益相同
4、在图中，两函数图像相比较，线在上方的说明在这个鱼塘钓鱼，更经济。
这个时候可能有人问了，有一段，两个函数都在y轴以下说明了什么呢？其实也挺好理解的，函数值更小的说明亏的更少啊，反过来不是也就说明了更划算吗？大家可以好好思考以下。

今天就更到这，以下内容敬请期待

（二）几何类

a、数轴

b、等腰三角形

c、直角三角形

d、平行四边形


大家学会了吗？