一个高中数学题

大漠蒲公英

分析取值范围， a\in(0,2),x\in(0,a)
①第一种方法，几何：
画出图像，



两段截距之和即为函数值

移动截距，



两个直角三角形

移动截距，得到一个直角三角形，一直角边为 \left| 1-a/2\right| ，另一直角边为截距之和，斜边不确定


斜边与两圆半径形成一个三角形， 0<斜边长\leq a/2+1
取等号时，斜边最长，截距和最大， |1-a/2| ^2+2= (1+a/2) ^2
可得， a= 1
②第二种方法，求导：
分子有理化： f(x)=(2-a)x/(\sqrt{2x-x^2}-\sqrt{ax-x^2})
上下除以x，得到 f(x)=(2-a)/(\sqrt{2/x -1}-\sqrt{a/x-1})
令 g(x)=\sqrt{2/x-1}-\sqrt{a/x-1}
对g(x)求导 g'(x)=-1/x^2\sqrt{2/x-1}+a/2x^2\sqrt{a/x-1}
令g'(x)=0，得到 x=2a/(a+2)
带入f(x)，得到
f(x)=(2-a)/(\sqrt{(a+2)/a-1}-\sqrt{(a+2)/2-1})
化简得，
maxf(x)=(2-a)/(\sqrt{2/a}-\sqrt{a/2})
取消分母提出一个 \sqrt{2/a} ，得到
maxf(x)=\frac{2-a}{\sqrt{2/a}(1-a/2)}=\sqrt{2a}=\sqrt{2}
所以 a=1

令建

@伍六七

冰镜子

来学习了！！

青言

那个截距的概念不懂，主要是解析式应该无法转化到圆才对，我水平不行，导数的勉强看懂，就是没去验算。考试的时候很难有耐心去这样子求导