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ps:本文仅仅作为自己学习圆锥曲线所有的想法和学习，其中看过@零典韦达定理，这位大佬的内容，以下是我个人对于其次化的想法。
我们知道，在高中阶段，圆锥曲线和导数往往是压轴的题目，尤其是全国卷，但对于全国卷，我个人认为圆锥曲线压轴的可能不是很大，并且，对于最近几年的圆锥曲线，往往难度不大，但是运算量往往大的惊人，尤其求最值和定点内容居多，一下由2017年全国一卷入手，引入“其次化”，以及与传统做法作比较。
2017年全国一卷，已知椭圆方程为 x^2/4+y^2=1 ,直线l与椭圆交与A,B俩点，若直线PA与直线PB斜率之和为-1，求证直线AB过定点。P（0，1） 对与此题，大多都是设直线l的方程，联立韦带嘛，得到A,B俩点的坐标，带回题设所得。以下为常规做法。
- 当直线l不存在时，设l：x=t，由题设， t\ne0 ，且 |t|\prec2 ，得A,B坐标（t, \sqrt{4-t^2}/2 )(t,- \sqrt{4-t^2}/2 ）所以Kpa+Kpb=-1 \Rightarrow t=2，不符合题设。
2.当直线l斜率存在时，设为 y=Kx+m(m\ne1).
将l带入 x^2/4+y^2=1 中，化简得到 （4k^2+1）x^2+8kmx+4m^2-4=0
\Delta=16(4k^2-m^2+1)>0
设A(x1,y2),B(x2,y2)，则x1+x2=-8km/4k^2+1,x1x2=4m^2-4/4k^2+1.
而k1+k2= y1-1/x1+y2-1/x2
=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)=-1
所以 （2k+1)\cdot(4m^2-4/4k^2+1)+(m-1)(-8km/4k^2+1)=0\Rightarrow k=-(m+1)/2
当且仅m>-1时， \Delta>0,于是l:y=-(m+1/2)x+m,即y+1=-(m+1/2)(x-2)，即l过定点（2，-1）
emmm,不算太过复杂，但是对于我这种懒人来说，就......了
接下来是”其次化的内容“
随机生成的图像
对于这个点p（0,1)设点A( x1,y1 )B( x2,y2 )记Kpa，Kpb为 k1,k2 , k1=y1-1/x1,k2=y2-1/x2
对于直线l，k1,k2,我们能不能想，用直线l的方程和椭圆联立得到k1,k2为方程的俩个根呢。对此我们能不能想到，K1=Y1/X2,K2=Y2/X2呢？，我们可以得到，如果让k1,k2表示成前面的形式，那么我们是不是可以考虑把点p（0，1）平移到点P（0，0）呢，我们还知道，平移时直线斜率不变，所以K1,K2可以表示出来，想法成立。动手作。
将点p（0，1）平移到P（0,0）,对应的{X=x,Y=y-1}
所以原来椭圆方程为 X^2/4+(Y+1)^2=1
设直线 mX+nY=1 (斜率保证不为零)
联立 X^2/4+(Y+1)^2=1 mX+nY=1
\Rightarrow X^2+(4+8n)Y^2+8mXY=0
记K=Y/X则， (4+8n)K^2+8mK+1=0
K1+K2=-8m/(4+8n)=-1
m=n+1/2 代入 mX+nY=1中，整理得n(X+Y)+(1/2X-1)=0
若使无论n取何值上述成立，则 X=-Y,X=2\Rightarrow X=2,Y=-2
对应定点M (2,-2),则对应原坐标系为m（2，-1）
答案得出。 |
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发表于 2022-9-22 10:10:54