如何学好高中数学？——我的高中数学第一课

新会陈皮茶业

如何学好高中数学？——我的高中数学第一课

原创2022-09-18 06:37·安然数学



在开始我们的讲座之前，首先请大家思考一个问题：什么是数学？



可以说，数学并不是我们认识中的加减乘除、函数、方程和平面图形，这些都是数学作为知识层面的一部分，如果我们从一个整体的角度是看待数学，从数学与其他学科的关系角度去看待数学，我们自然可以得到一个结论。



著名数学家华罗庚在《人民日报》精彩描述了数学在“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”等方面无处不有重要贡献。
也正因为如此，数学才能够称之为“学问的基础”。
为什么大家在初中时，初二才开物理，初三才学化学，就是因为物理、化学需要数学工具的支撑，没有数学工具，大部分理科都是无本之源，无法深入研究。

当然也不仅仅如此，数学对于我们个人而言，也有这极其重要的作用。
一方面是我们处理现实问题的需要。
比如在中国古代，我们知道有君子六艺——礼乐射御书数。



其中的数有九数（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要），可以说就是解决在日常生产生活中所遇到的实际问题。
这是一个古代合格的“君子”——统治者所必备的能力。

另一方面数学学习也能够锻炼、培养我们作为现代公民的素养。
不知道大家是否考虑过这么一个问题，我们从幼儿园开始，小学、初中、高中乃至大学，这一二十年间国家要求我们一直学数学，花费了大量的财力培养数学教师、开设数学课程、开发数学教材，为什么？



如果只是让大家能够买菜、算账，完全没有必要学习这么多的数学知识啊！
因为数学是大量现代工作所必须具备的能力，比如大量的理工科专业，不管是建筑、机械、生化环材还是计算机、金融，都需要高等数学知识的支持。

同时数学又能够潜移默化的培养我们的公民基本素养！
比如学习数学可以使你的思维变得有条理。
数学是最考验，最锻炼逻辑思维的科目，通过学习数学，使得你在处理问题时，自然而言的就会讲求逻辑，做事有条不紊，层次清晰、重点分明。
就比如我做这个PPT，也是要有一定的思路——首先帮助大家认清楚什么是数学、明白数学不管对社会还是对我们自身的价值，然后是介绍初高中数学的差别，之后再给大家介绍高中数学应该如何学习。
这就是所谓的条理和逻辑。



对于其他学科的学习而言，逻辑能力也是很重要的，就比如看上去和数学最风马牛不相及的语文，我们现在的中、高考试卷中有大量的阅读理解问题，这些问题解决的底层能力是什么？
是逻辑能力！
语文试卷中分值最高的那一部分——作文，不管是破题还是写作，都需要看什么？
逻辑！
曾经有一位比较厉害的语文老师告诉我说过：理科强的同学如果愿意去学语文，反而是分数提升最快的群体！
根源就在这里！

再比如数学能使你变得理性客观。
数学是不讲感情的，不会因为你爱它或者出于同情就多给你几分，也不会因为你讨厌它就专门为难你少给你几分。
天行有常，不为尧存，不以纣亡。
数学只讲逻辑，公理、定理、公式才是你解决问题的依据。
学过数学，你就会在看待问题的时候就能够尽量排除感情和主观感受的影响，理性的分析，客观的对待，不会掺杂太多的个人感情和冲动，能够更好的理解、接受所处的环境，也能够更客观的看待问题，反而有助于你去解决问题。

举个例子，我们会在不久的将来面临选科的问题。
历史和物理你选谁，政治、地理、生物、化学，你选哪科？
是发挥自己的擅长之处？是考虑到现实的就业趋势？还是遵从个人的意愿、爱好？亦或是跟着朋友们随大流，甚至为了某些感情因素去决定自己的选科？
此时最需要的就是客观、冷静，因为这关系到你的未来相当长一段时间的人生。
客观、冷静不一定能让你选出一个最好的选择，但会选出一个让你不后悔的选择。
......



类似的内容我可以说上很多，可是客观、冷静的我觉得再这么写下去大家就没有耐心看了，还是克制一下自己的说教欲望，继续回归正题，聊一点功利性的内容。
比如高考。
在高考中，数学是实打实的150分！
数学成绩可以说是你位次的风向标，数学好，则总分扶摇直上，位次遥遥领先，数学是最容易拉开差距的一门课。
所以哪怕是为了将来的高考成绩，我们也需要在高中阶段极为重视数学。

那么高中数学到底有哪些内容呢？我们到底要学什么呢？









（我们这里使用的是北师大版教材，如果是人教版，需要把必修一种的概率统计替换成三角函数，相对任务更重一些。）

我们在这里着重来看看高一上学期我们需要学习哪些？
在这个学期，我们要学习的就是必修一的全部内容，其重难点以及核心知识主要集中在第一章到第五章，也就是预备知识+函数内容。
这不仅是高一上学期的重点，甚至是整个高中数学的重点和基础。

而且通过目录我们就会发现，高中数学涉及到的知识内容很多，而且我可以负责任的告诉大家，没有不重要的内容。
这是和初中不同的地方。
初中数学我们会发现它是成条状排布的，是一脉相承的螺旋上升。
同一个体系的知识你在三年都要学，你越往上学，学得东西越难、越重要，中考中出现的几率越大，分值越高。
但高中数学不同，因为高中数学是面状的，因为知识种类很多，集合、不等式、函数、向量、立体几何、解析几何、数列、概率统计、复数，这些内容并没有一个相对明显、清晰的联系，各自独立，只是根据一定的大的框架进行了安排，放在高一、高二两个学年去学习，所以高一学得内容不仅很重要，也不是最简单的内容，甚至相当有难度，尤其是函数！



这是一个高考数学试卷中各部分知识分数占比的大致统计，这里的函数是一个大概念，包含了函数、指数函数与对数函数、函数的应用、导数、三角函数、数列等内容，可谓占了高考分值半壁江山。



下面我们就来看看初高中数学之间到底有什么差别？
（一）从初中到高中，数学学习出现了“高台阶”
初中数学几乎就是小学数学的延续以及初步的体系化，而高中数学则主要被安排为大学高等数学课程的预备知识。
前者主要由初等代数、平面几何，与数理统计的最基础内容三部分构成。而后者则分别由集合论、函数论、不等式、三角函数、向量代数、算法、数理逻辑、立体几何、解析几何、微积分、统计与概率、复数的基础部分拼凑而成。
相比而言，初中数学实际上就是小学算术与简单几何图形的延续；而高中数学则是一门“初等”高等数学，全景式的展示了数学的风貌。



这就导致高中数学相对于初中而言，课程难度陡然增大。
比如新教材北师大版，除了一开始的一两章衔接部分之外，上手就是基本初等函数，知识难度高，理解难度大，基本上就和初中难度最高的函数知识差不多，甚至难度更高；
知识容量大，难以全面掌握，一章的知识点基本上可以顶上初中的一本；
知识深度、广度对学生的能力的要求很高，不像初中只需要了解，高中是必须要理解前因后果，才能应用；
节奏很快，要求能够快速的接收、消化、理解、应用，基本上不会等你，两节课一节的进度基本上雷打不动；
对计算能力和思维能力的要求也非常高。

（二）初高中数学知识的脱节
初高中教材存在许多需要衔接之处，立方和（差）公式、十字相乘法、简单的分组分解法、高次多项式分解、分子（母）有理化、可化为一元二次方程的分式方程、含绝对值的方程等等，许多知识点在初中已经弱化或删减而高中还在用。

（三）高中数学语言的抽象性阻碍学生的理解
初高中数学在语言表述上存在比较大的差别，初中的概念相对简单、直观，类似于口头语言；
而高中的概念就比较抽象，类似于文言文，比如函数中的一些概念。

这就导致学生有时候很难理解。
例如，在学习函数性质——单调性、奇偶性、周期性的概念时，高中教材在定义的描述上就采用了比较抽象的形式，并要求学生熟练掌握推理、证明和运用数学知识来解决问题。



单调性的定义

数列中等差数列、等比数列的定义也是如此。
初中数学内容的抽象化程度较低，更多的直观、具体、形象描述，这有利于学生掌握基础知识．但有些学生对于数学的认知就会比较肤浅，步入高一后理解不了、接受不了，出现了学习障碍．

（四）初高中数学在解题思维方式中的区别
初中数学的题目简单直接，大部分题目是条件——嘣！——得到结论。
高中数学的题目更复杂，很好有这种直来直去的题目，多条件、多知识点综合、含参讨论、长思维链，按步给分让过程也变得非常重要，更考察学生在解题构成中思维的广度和深度。



导数解答题答案节选

举个例子，初中是“这种条件就应该这样用？”，高中就是“这种条件应该怎么用？为什么要这样用？”

（五）初高中数学在课堂教学容量上的差别
高中数学教学是典型的“纸短情长”——课本上内容少，实际教学中需要填充的内容多，这就使得高中数学的授课任务又相当大，对进度要求很高，这就使得老师在课堂教学中需要兼顾量与速度两者。
这就势必使得在课堂教学容量很大——知识点密集，题型多且难，且不能像初中那样花太多时间去围绕同一题型反复打磨，很多时候一些常规题型都是老师点一点思路便一带而过，然后就下一个，只有一些复杂的题目会具体的详讲，但仍然以思路为主。

（六）初高中数学在对学生自学能力要求上的差别
正是由于高中数学教学的高节奏、大容量，一个不争的事实是，并不是每一个学生都能够在课堂上全部掌握所有知识，完美消化所有题型。
可以说相当一部分学生对于课堂内容的掌握都是不完美的，集中体现在对概念认知的不具体，对题型解法的不熟练甚至陌生，对解题方法背后的思路探究不深入，对题型掌握的不全面。
初中数学也会如此，但是初中数学有老师不厌其烦的总结、归纳和练习，高中当然也会有，尤其是好学校会准备大量的小专题练习。
但高中和初中极大的一个区别是，高中数学是把个性化的查漏补缺与学习让渡给学生的，那么你能不能做到主动的学习，有意识的解决问题，也就是你是否有比较强的自主学习的意识与能力，愿意去想办法克服苦难，就是影响你高中数学学习的一个重要因素。



那么，学好高中数学需要做些什么？
这是一个老生常谈的问题，甚至会充满你们厌恶的陈词滥调。
但是，大家请想一想，为什么一代代老师都反复强调这些东西，他们也曾经年轻过，也曾经对这些要求不屑过，为什么回归学校从事教师这一职业后，也开始强调这些要求呢？
因为经典永不过时啊！
来，我们看看有哪些经典的教学常规。

首先就是预习。
这里的预习并不是我经常在文章中的超前学习，超前学习是一种策略，预习则是一种技术。
那么，你的预习技术到底怎么样？

对于数学而言，面对课本，你不可能去把教材背一遍，甚至如果仅仅是看的话，两三分钟就看完了，看完之后毫无印象，一头雾水。

预习首先要学概念、公式。
要明白这些概念、公式的来龙去脉，如何推导，有什么需要注意之处。
如果不是起始课，要把概念放在这一章的体系内去理解，建立前后联系，甚至可以比较一下前后概念的联系与区别。
因为在数学的每一章中有不少知识是互相平行但又有联系的。
比如说函数中的单调性，奇偶性、周期性；指数函数、对数函数，都是这么一种关系。
再比如说像在立体几何中平行和垂直关系，线面平行与线面垂直，我们可以来进行联系比较，线面平行和面面平行，我们也可以来进行联系、比较。
这样的话对于概念的认识就更加深刻。

在研究概念的时候，我们也可以去仔细琢磨。
比如说立体几何中，线面垂直的定义是：
如果一条直线垂直于任意一条直线，那么这条直线就和平面是垂直的。
这个定义就是一个典型的把三维问题转化成二维问题，进而简化难度的一个思路，也是立体几何中非常常用的一种思路。
很多立体几何中的问题，我们都是把它从一个空间问题转化成平面问题。
比如空间角我们都是转化为平面角来解决。
这种降维的思想不仅仅是在几何中会涉及到，在其他知识上也有所体现。
比如说我们所有的解方程、解不等式的问题，不管这个方程和不等式是什么形式，最终我们都会转化为解一元一次方程和一元一次不等式。

我们还可以通过变动概念中的条件来理解概念。
比如把线面垂直定义中的任意改成无数行不行？
或者说不要任意这两个字，可不可以？
同时这个定义，我们把条件和结论调换一下，是否也是成立的？
如果一条直线垂直于一个平面，这条直线就垂直于平面内的任意一条直线。
这样一个结论是否正确?

这是定义，但是线面垂直的判定定理是这样表述的：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么直线和平面就是垂直的。
判定定理里为什么不再强调任意一条直线，而是两条相交直线就可以？



其次当然是要做题。
因为我们学习概念知识，主要目的就是为了去应用，这时需要解题；
同时为了考验我们对于知识的掌握程度，也是要去做题。
如果是预习数学，不去做题就没法发现自己在预习中存在的问题。

尤其是有一些同学的能力不够，可能做不到像我前面所说的那样去通过琢磨概念发现问题，那么就需要通过做题来达到这样一个目的。

做题的时候什么样的难度是合适的？
一方面要看课本上的问题，除了课本上的问题之外，还需要去看相应的教辅中的问题。
但是高中生时间又不够，不可能完全的去把教辅中的内容都给解决掉，那么这个时候又怎么办？
我们可以去降低要求，一方面可以只做教辅中第一部分预习环节的题目（很多教辅都是有一些配套的预习用题目，难度很低，只要是考察对概念的初步认识，不考技巧），另一方面对于后面的题目，不要求都付诸于笔端，可以去题目给大致浏览一遍，找一找思路。
判断出来没有办法解决的问题，把它给标记下来，然后带着问题去听课。

当然我们也可以去结合现在的一些教学资源，的确现在网络上有很多的录播课程可以让孩子们去学习。
但录播课程的学习需要花费大量时间，这就要看大家如何去处理和权衡。
在预习阶段可以着重看一看课程中关于概念的讲解。
这可以解决一个什么问题呢？
有一些高中老师对于概念是不怎么讲的，通过提前看看可以解决这个问题。

预习不可能做到面面俱到，如果可以，那要老师干什么？
一定要去兼顾效率，甚至可以说在预习阶段，效率是第一位的。



其次是听好课。
听好课的话，其实就是我们常规所说的五到——眼到、耳到、口到、手到、心到。

这五到首先是一个多维的学习过程。
因为要想提高听课效率，最好是要整个感官参与，手、眼、耳、心、口，综合的参与，综合的调用，能够让你在全方位的去感触、理解这个内容。
我们应该有体会，如果让你去简单的去听一个东西，可能你听一小段，还能记住，但是如果这一段内容时间长久，你可能一会儿就把前面内容忘记了。
但是如果有眼睛看、有耳朵听、有手记，协调配合起来，相对就会好的多。

具体到每一项，也是可以来深入的去打磨一下的。
眼到
在上课时，学生的眼睛是非常重要的，一定要盯着老师、盯着黑板。
盯着老师是什么意思？
因为课堂是一个交互的过程，所谓老师教、学生听，老师在讲课的过程中也在不断观察学生听课时候的反应，这就是一个交互的过程。
如果你是在认真的听课，那么当你遇到疑难问题的时候，老师就能够观察出来。
这个时候，老师就会有意识地加强这方面的教学。

眼到还指你一定要跟着老师的节奏去走。
比如老师在解题的过程中，你就不要去自己再去看课本，或者干别的，一定要跟着老师的思路。
学生的水平是有层次之分的，老师在讲课过程中你一定是会遇到问题的。
这个时候能很快琢磨明白的就直接琢磨明白，如果要花一定时间，就把它标记出来课下去问同学或者老师，而不要一味的纠缠。
否则就容易拾了芝麻，丢了西瓜，甚至芝麻、西瓜都没了。
有问题是很正常的事情，不丢人、不可怕，下来只要解决了就可以了。

耳到
指的是要学会听课。
什么叫学会听课呢？
一节课会包含很多知识点，不能说每一个点都很重要，但一定会有若干个比较重要的点。
在这些点上，老师是会反复强调，不由自主的放慢节奏，加强重音，甚至会直接点出来这个知识点的重要性。
一定要能够发现这些重难点知识，重点题型，投注百分之百的注意力。

口到
指的是在课堂上要能够主动的去反馈、去参与。
当老师在提问的时候，一定要回答，老师在解题过程中，能跟着说的一定要说。
反馈非常重要，没有反馈就没有一个有效的课堂，你的回答，也许是对的，也许是错的，都能够让老师了解实际情况，及时调整。、
另外，当你在跟着老师说时，就不太好去分散注意力，相对来说更能集中注意力，听课效率自然会高一些。



手到是一个比较麻烦的话题。
一般来说我们在课堂上的手到，指的就是记笔记。
我的建议是：
听概念的时候专注于听，笔记只是记些老师讲解概念过程中的一些要点以及一些自己的疑问。
如果老师在讲解习题，那就要听记结合，因为你课下很难有时间去完全补充。
如果老师用的是传统的板书，你跟上记录过程基本没有什么压力；
如果老师用的是PPT，就未必会给你留出足够的记笔记的时间，可以去掉那些无关紧要的你会的步骤，主要记核心的位置，把核心步骤给记下来，把疑问之处、难点给记下来，把思路记下来，其他的去下面再补充。

不管怎么样，我们上课的核心在于听讲，笔记只是这个听讲过程的一个环节，是为听课效果服务的。

心到指的是你在听课的过程中一定要有主动性。
要把预习中发现的问题、存在的疑问拿出来，带着这些问题和疑问去听讲。
要能够主动的去跟着老师的思路去走，而且要不断的在老师的讲课过程中继续发现问题，去深入的进行思考。
要想提高学习效率，你的听课过程就不能是一个简单的接收过程，它应该是一个有大脑主要参与的、完整的、包含有反馈、包含有思考、包含有练习的过程。
只有我们在听课时能够主动思考，对信息进行加工，才能够更有效的提升我们的听课效率，才能够更好的把知识融汇入我们的既有的知识体系中去。
绝对不能只是被动的接收，切记切记。

做好作业是学好数学的必要步骤
谁不会写作业？
但你写作业的质量、效果到底如何？你又是否会主动的写作业？
作业的作用是什么？——巩固知识、提高能力、发现问题。
所以作业必须保证能够独立的完成，这是最最基本的要求。
之所以强调这个，是因为很多高中孩子很难做到独立完成，当然我们并没有道德洁癖，哪怕是对你很难解决的问题也必须要求一个人自己去琢磨出来。
如果能够做到这样，当然很好。
如果不行，可以去请教别人、可以去看答案、可以用扫题软件，但请保证你通过以上途径之后，可以自己独立的搞定这些题目。
怎么判断？
给别人讲讲就好。

学校作业和自购教辅的关系。
这是一个让孩子与家长都很矛盾的问题，我也没有一个万全之策，只能给几条原则：
学有余力的，可以主动调整
我群里就有一个孩子今年高考考上某著名医学院八年制口腔的家长，他家孩子就是自己买教辅做，因为觉得学校教辅不好，问题是人家孩子能考到全省前几百，自然有这个能力、眼光和底气。

学校作业都搞不定的，不要碰
不是说学校作业就一定好，而是说你连学校作业都搞不定，那么说明你肯定是有欠缺的，家长也大概率不具备挑选合适教辅的能力，盲目的去挑选教辅反而得不偿失。
众鸟在林不如一鸟在手，老老实实按部就班吧。

听取专业人士的意见。
高中教辅种类很多，高中时间很紧张，高中没有办法试错，在选择校外教辅的时候，最好是听一下专业人士的意见，结合下自身的情况与目标。
比如一些特殊情况——有的娃极度偏科，进了好学校或者好班型，但是数学极度薄弱，学校的教辅都用不了，这时候可以找专业人士推荐一本降级教辅。

自购教辅的选择与使用。
在高中阶段，专题教辅>同步教辅，难度优先，高一层级，解析详尽。
这样的建议显然是有实际背景——学校正规、老师负责。
这种情况下，学生的练习量是绝对够的，不用考虑刷题的问题，同步教辅学校配的质量也不会太差，学生面临的问题往往是基础题目会，上一点难度的时候思路不畅，难题束手无策。
这时候学生急需的是通过专题教辅打通整个体系，融会贯通，系统的解决问题。
选择教辅的时候不能和校内同级，那就没有什么意义了，最好是比校内的高一级能够拔高一些，同时解析过程详尽，便于自己学习、分析。



学会考试是数学学习能力的体现
首先是面对考试的心态问题——到高考之前的所有考试，都只是为了查漏补缺，所以放松心态，尽力考就好，然后就是考后的整理分析；高考是你高中三年乃至整个学习生涯的体现，早就注定，你只是在上台领奖而已。

具体到数学考试，首先要保证格式，主要是解答题的格式。
从高一开始就要规范使用解题格式，该符号语言绝不用文字说明，该有的步骤一定不要跳！

其次是做好草稿管理。
选择填空题除非是特别难得题目，可以在一卷上写，既能给解答题解决留出空间，也可以在检查的时候及时对照题目，提高效率。
解答题草稿一定不要着急，要适当注意格式、准确度，尤其是比较复杂的计算过程最好是醒目、清晰。

再次是善于运营各种解题技巧，做到有效答题。

然后是做好时间管理，不断精益求精，要把客观题答题时间压缩在40分钟—50分钟左右。

最后是做好权衡，高中数学试卷中一定会遇到不会做的题目，而且位置还有可能很靠前，比如在选择题7、8、11、12，填空题16，解答题20、21、22中都可能遇到，很正常，是跳过去还是留下来攻坚，要权衡好时间。
我的建议是在这几个位置遇到难题，就先看看，简单思考一下之后，如果一时间思路比较渺茫，那就跳！解决的时候先解答后不定向选择、再单选、填空。
这样的话，一方面节约了时间，另一方面你把会做的题目做完后，对于这些跳过题目的难度也有了个认识，可以直接解决那些有希望解决的。
其中解答题因为有过程分，相对得分几率比较大，不定项选择题也是如此。

考试中一定有不会的问题，有错误的题目，这些问题才是有价值的问题。
不能单纯的满足于步骤的重复，而是要深入分析错因，找到问题解决的本质思路方法，最好是加上同类型题目练习。
对问题的分析的重要性要高于反复的练习。

最后送大家一张图。



这张图的出处颇有可议之处，但大致内容还是不错的，也是费曼学习法的一个实例。
我们会看到主动学习中效率最高的一条是——教给他人。
我们有些同学会觉得教会徒弟、饿死师傅，不太乐意和同学们讨论问题、分享思路和经验。
中国足够大，容得下很多志愿和选择。
相较于你在全省所面对的竞争，你在班里那些竞争不值一提，但是你不可能获得全省那些竞争者的帮助，却能够获得班里同学的帮助。
所以丢下那些敝帚自珍的小心思，大胆和同学们之间彼此交流、砥砺，共同进步才是高中数学学习正确的打开方法，也许你还会收获不少真挚的友谊，这样你的高中生涯才不算虚度。

祝同学们学习进步！
三年后金榜题名！
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彈情鎖愛

顶顶更健康

王宏基

占位编辑