高中数学 概率初步（排列组合、乘法原理、加法原理）

蓝心萦梦

古典概型是高中数学中比较简单的一章，甚至难度不会超过小学奥数那些花里胡哨的题目。但是概率题目如果难度上升的话，难以作对。不同的方法，稍有不慎可能做出不一样的答案。本期，我们的题目围绕扑克牌中的概率论来进行，会涉及一些简单的排列组合与乘法原理和加法原。而后，对“斗地主”这一娱乐活动进行简单的分析。当然很多有意思的桌游都会涉及到数学期望和概率的一些计算，比如推荐桌游 骆驼快跑。
1、当我们从52张扑克牌（去掉大王小王）中随机抽取一张，抽到的不是“红桃”的概率是多少呢？
52张牌中是“红桃”的牌有13张，那么不是红桃的牌就有39张，所以概率为 \frac{39}{52}=\frac{3}{4} 。当然，共有四种花色而每一种花色的牌的张数都相同，所以不是“红桃”的概率是 \frac{3}{4} 。
2、选出的牌是A的概率有多大？
用同样的方法，52张牌中，A共有4张分别都有梅花、方块、红桃、黑桃，所以概率为 \frac{4}{52}=\frac{1}{13} 。
3、同时抽取4张牌为相同花色的概率？
先看从52张牌中任取4张进行组合，即共有 C_{52}^4 种情况，同一个花色一共有13张牌，并且一共有4种花色。我们可以从梅花、方块、红桃、黑桃中任意一种颜色的牌中选取13张， 4C_{13}^4 。
任意从52张牌中抽取5张，抽到相同花色的概率为 \frac{4C_{13}^4}{C_{52}^4} 。上海的考生可以揿一下计算器，如果是其他的地方的考生，不建议硬算。可以适当得展开式子，进行约分后简化， \frac{4C_{13}^4}{C_{52}^4}=\frac{4\times \frac{13\times 12\times 11\times10}{4\times 3\times 2\times1}}{\frac{52\times 51\times 50\times49}{4\times 3\times 2\times1}}=\frac{4\times 13\times 12\times 11\times10}{52\times 51\times 50\times49}=\frac{ 12\times 11}{51\times 5\times49}=\frac{ 4\times 11}{17\times 5\times49}=\frac{ 44}{4165}
4、同时抽取五张牌中的面值是连续的概率:
先看从52张牌中任取5张进行组合，即共有 C_{52}^5 种情况。再看分子，因为要连续的牌面，以有 1\sim5 、 2\sim6 、 3\sim7 、 4\sim8 、 5\sim9 、 6\sim10 、 7\sim J  、 8\sim Q 、 9\sim K 这9种情况。每种情况，5张牌的每一张牌，都可以有四种花色作为选择： \frac{9\times 4^5}{C_{52}^5}=\frac{9\times 4^5\times 5!}{52\times 51\times 50\times49\times48}=\frac{192}{54145}
5、五张牌的花色相同且面值是连续的概率：
显而易见，这一题是上两题的综合。每种花色共有9种方式，共有4种花色，即概率为 \frac{9\times 4}{C_{52}^5}=\frac{3}{216580}
6、五张牌中有四张面值相同的概率：
因为一共有四种花色，而题中要求四张面值相同的牌，所以必须四张不同花色的牌必须全取。所以前四张牌共有13种取法。剩下的第五张牌可随意取，因为52张牌中已经取掉四张，所以第五张牌共有52-4=48种取法。即概率为 \frac{13\times 48}{C_{52}^5}=\frac{13\times 48\times 5\times4\times3\times2}{52\times 51\times 50\times49\times48}= \frac{ 5\times3\times2}{51\times 50\times49}=\frac{1}{4165}
7五张牌中有三张牌面值相同，另两张面值也相同的概率:
先来分析三张牌面值相同，因为每种面值有四种花色，所以相当于从四张牌中取出三张进行组合，则有 C_4^3=4
种组合。因为有13个面值，所以共有 13\times C_4^3=52 种方法。因为一副牌中不存在面值相同的五张牌，所以取3张牌时的数值不能再取。比如AAA22。按与前面相似的思考方法，现在是四张牌中取两张进行组合，又因为有一种面值不能取，所以有 12×C_4^2 种方法。
综合以上两点，用乘法原理可得总概率： \frac{13\times C_4^3\times12\times C_4^2}{C_{52}^5}=\frac{6}{4165} 。

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牧马江南

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