高中数学函数进阶：浅谈同构

勇容

前言

同构可以说是笔者认为在高中导数中最美的一种东西了，因为同构是一种对称美，两边具有相同形式是同构之基础，同构在高等数学/微积分中其实就是一个微分方程，但是笔者只从初等角度来看这一个问题。
同构可以出现在各个地方，可以是选填压轴题，也可以是导数大题。因为其形式足够“巧妙”，有时候难以被发现，所以笔者希望通过自己写的文章，给还在高中“挣扎”的同学们一点帮助
什么是同构？

所谓“同构”，指的是“结构相同”或者说是“形式相同”，就比如说我们看到这个式子： xlny=ylnx\\ 我们两边同时除以xy得到： \frac{lnx}{x}=\frac{lny}{y}\\ 这样是不是有点“结构相同”的感觉了？你会发现这是非常对称的，所以我们令 F(x) = \frac{lnx}{x}\\ 那我们根据上面的式子就得到了 F(x)=F(y)\\ 进而我们就可以根据题目再去找一些更好的关系了。
为了跟上时代我们拿才考的2023届山东临沂的一模考试导数第一题举例子：



2023届山东临沂一模

我们把第一问的不等式写出来： ae^x+lna\ge lnx\\ 我们会发现这个没法分参，直接讨论很麻烦，而且还是在“第一题”，所以我们必须考虑一些“技巧”
我们对这个形式稍微变一下： xe^x\ge \frac xaln\frac xa\\ 有没有发现这右边非常的就是"xlnx"这种形式
如果我们能把左边也凑成"xlnx"的形式的话，不就对称了吗？所以我们尝试一下
xe^x=(e^x)\cdot ln(e^x)\\ 显然我们凑出来了。我们令 F(x)=xlnx ,不等式就转换为了 F(e^x)\ge F(\frac xa)\\ 当 \frac x a\le1 时显然成立
当 \frac x a>1 时，显然 F'(x)=lnx+1>0
因此不等式就可以转化为 e^x\ge \frac xa\\ 显然形式就简单多了。
怎么同构？

我想读者已经在上面感受到了同构的一些妙用了，肯定也想找题“试试手”，但会发现这类题往往不是那么“简单”。实际上，同构没有一劳永逸的方法，因为它很考察“构造能力”与“观察能力”
但是我们也可以给出一些常用的构造技巧，供读者研究
实际上，主要的同构技巧，基本就在指对互化上
\begin{align} xe^x=e^{lnx+x} \\x+lnx=ln(xe^x) \end{align}\\ 大多数关于指对的同构，都是关于指对互化得来的。
当然正如前面所说，同构题目较为灵活，需要读者多做题，积累经验，练就一双“火眼金睛”才行

结语

文章篇幅简短，粗略介绍了下同构，笔者认为关于同构的理解，更多需要读者自己刷题才行。

齐迪

秀起来~