高中生也能看懂的量子纠缠

北极的太阳

今年诺贝尔奖公布以后，我很多朋友都问我啥是“量子纠缠”，什么是EPR悖论，为什么爱因斯坦质疑量子纠缠。我当时也有些懵，不知道怎么给零基础的人科普量子力学。我于是帮他们在知乎翻一翻大拿的文章，找找大拿有没有深入浅出的文章可以帮助科普相关知识的。但是看了很多，有的大拿用算符和矩阵解释量子纠缠，有的大拿用“贝尔不等式”科普。
说真的，我大学学物理的都不知道啥是贝尔不等式。而对于一个没学过两三年量子力学的人来说，算符和矩阵实在过于抽象。
于是，我只有自己想想办法，尝试用简单的高中数学来写量子纠缠的波函数，来向感兴趣的朋友们科普科普。这篇文章的计算并非真正的量子力学，算是我自己创作的乞丐版量子力学吧，如果有物理学大拿路过，看了别取笑。
咱们先来复习一些光学的物理概念：
有一种光子，光波沿着某一特定方向振动，叫做线偏振光。


自然界除了线偏振光，还有一种常见的偏振光，它的光波并非是沿着直线振动的，而是在做圆周运动，叫圆偏振光。


当我们对着光路的方向观察圆偏振光，会看到圆周运动的光波。


所以圆偏振光可以看成是两个线偏振光的组合:
左旋圆偏振光表示为：COSωt \bar{e_{x}}+Sinωt \bar{e_{y}} ....................公式①
右旋圆偏振光表示为：COSωt \bar{e_{x}} -Sinωt \bar{e_{y}} ....................公式②
于是，我们知道不论是左旋圆偏振光还是右旋圆偏振光，它们都是由一半横向线偏振光和一半纵向线偏振光组成。所以，在量子力学的理论中，如果在圆偏振光的光子前方放一块偏振片，不论这个光子是左旋还是右旋，一个圆偏振光的光子，通过一个偏振片的概率都是1/2。


那么，根据简单的概率学，一个圆偏振光的光子通过偏振片的概率是1/2，那么两个圆偏振光的光子都通过偏振片的概率就是1/4。........................................结论①
然后，终于要正式开展量子纠缠实验了
假设我们用π介子做一个实验，π介子的角动量为0，π介子衰变，会发射两个圆偏振的光子（其实，具体是什么粒子，我早就忘了，随便吧）。
根据动量守恒和角动量守恒，π介子衰变发射的两个光子会朝两个相反的方向飞去，并且两个光子的旋转态是一样的，也就是说要么发射两个右旋光子，要么发射两个左旋光子，两个光子的旋转状态是相互纠缠的


两个光子都是左旋光子的概率是1/2，两个光子都是右旋光子的概率也是1/2，如果我们不对光子的旋转状态进行测量，我们并不知道光子到底是左旋还是右旋，光子处于既是左旋又是右旋的叠加状态。
以下关于波函数干涉的计算并非真正的量子力学，而是经过我简化的适合用来科普的乞丐版量子力学，咱们先上实验设备，再说理论计算，假设π介子衰变后，产生的两个光子分别为A光子和B光子。


上图所示，旋转状态相互纠缠的的A、B光子通过两个偏振片的波函数计算如下：
波函数=【A光子左旋·(偏振片)·B光子左旋·(偏振片)】
          ±【A光子右旋·(偏振片)·B光子右旋·(偏振片)】.............................公式③
上式的加粗部分咱们一步步解决:
1.如果实验中，偏振片的方向平行于y轴，则(偏振片)=\bar{e_{y}}，偏振片的方向平行于x轴，则(偏振片)=\bar{e_{x}}。
2.


波函数中间有个“±”号，物理学家是这样说的，宇称为偶的系统取“﹢”，宇称为奇的系统取“﹣”，在咱们这个系统要取“-”
有了波函数，我们就可以用波函数分析实验了，先看两个实验
实验一：两个偏振片方向平行，我们这里都选择纵向


将前面圆偏振光的波函数公式①和公式②代入公式③计算：
波函数=【A光子左旋·\bar{e_{y}}·B光子左旋·\bar{e_{y}}】-【A光子右旋·\bar{e_{y}}，·B光子右旋·=\bar{e_{y}}】
=【(COSωt\bar{e_{x}}+Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}(COSωt\bar{e_{x}}+Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}】-【(COSωt\bar{e_{x}}-Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}(COSωt\bar{e_{x}}-Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}】
=0
实验二：两个偏振片方向互相垂直，我们这里选择A光子一侧为横向，B光子一侧为纵向


波函数=【A光子左旋·\bar{e_{x}}·B光子左旋·\bar{e_{y}}】-【A光子右旋·\bar{e_{x}}，·B光子右旋·=\bar{e_{y}}】
=【(COSωt\bar{e_{x}}+Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{x}}(COSωt\bar{e_{x}}+Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}】-【(COSωt\bar{e_{x}}-Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{x}}(COSωt\bar{e_{x}}-Sinωt\bar{e_{y}})\bar{e_{y}}】
=2 COSωt Sinωt
波函数干涉叠加会使有些事件的波函数振幅减弱，有些事件的波函数振幅增强。从实验一与实验二我们可以看出，两个旋转状态相互纠缠的光子，同时通过两个平行的偏振片的概率为0，它们只能同时通过两个互相垂直的偏振片。
于是，我们得出结论②：下图所示的实验中，如果A光子和B光子的旋转状态相互纠缠，两个光子都通过两个平行的偏振片的概率为0


如果有一个“测量仪器”可以测量光子是左旋还是右旋，那么让爱因斯坦抓狂的事情发生了，如果我们把这个“测量仪器”放到A光子前方


根据前面的结论①，如果A、B光子相互独立，那它们都通过偏振片的概率是1/4。
当我们把测量仪器放进去测量A光子的旋转状态，A、B光子都通过偏振片的概率是1/4，当我们把测量仪器拿走，A、B光子都通过偏振片的概率又变成了0。
这时候爱因斯坦不乐意了，他认为这个实验就像是把一双手套用包裹分别寄出去给甲和乙，甲或者乙收到的包裹装着左手手套或者右手手套的概率都是随机的1/2，但可以确定的是甲和乙收到的手套是不同的，甲和乙收到包裹只有两种情况：①甲收到右，乙收到左。②甲收到左，乙收到右。甲和乙同时收到左手手套的概率为0，同时收到右手手套的概率也是0。尽管甲和乙在打开包裹之前都不知道自己的包裹里到底是左还是右，但是这个结果在包裹发出去的时候就已经决定了。
于是在爱因斯坦的观点中，这个实验只有两种情况：①A通过，B不通过。②B通过，A不通过。这两种情况都是随机的概率1/2。虽然在通过偏振片之前，大家都不知道到底是第①种还是第②种，但是这个结果，在光子发射出去的一瞬间就已经决定了。爱因斯坦不能接受，放一个仪器去测量A光子，居然能改变B光子的行为。哪怕A光子和B光子之间的距离有10万光年，也能实现相同的实验结果。仿佛A和B一直在用无延迟的通信，刚开始A对B说“我要通过偏振片，你千万别通过”，然后A又对B说“我遇见了测量仪器，你可以选择通过也可以选择不通过”。
这就是耳熟能详的EPR悖论，是Einstein，Podolsky，Rosen三个物理学家提出来的对量子纠缠理论的质疑。

欣河

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